超弾性

超弾性（ちょうだんせい、Hyperelasticity）とは、物体を構成する物質の力学的特性の数理的表現のひとつであり、ひずみエネルギー密度関数（単位体積あたりのひずみエネルギーを表す弾性ポテンシャル）を有することが特徴である。超弾性を有する物質を超弾性体とよび、ゴムの最も簡易なモデルとして登場したことに由来して、数十％～数百％の大ひずみ状態を想定している。

構成則

弾性とは、ある位置${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$の応力がそこの変形勾配${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$で決まる性質を表す。このときの応力は、第一ピオラ-キルヒホッフ応力${\displaystyle {\boldsymbol {P}}}$を用いると、

${\displaystyle {\boldsymbol {P}}={\boldsymbol {P}}({\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {X}}),{\boldsymbol {X}})}$

と書ける。

特別な場合として、ある変形区間での応力による仕事が、初期${\displaystyle t_{0}}$における状態と${\displaystyle t}$における状態のみに依存して、変形の経路に非依存なとき、この性質を超弾性という。経路非依存性より、以下に示すポテンシャル関数${\displaystyle \Phi }$が得られる。

${\displaystyle \Phi ({\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {X}}),{\boldsymbol {X}})=\int _{t_{0}}^{t}{\boldsymbol {P}}({\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {X}}),{\boldsymbol {X}}):{\dot {\boldsymbol {F}}}dt}$

${\displaystyle {\dot {\Phi }}={\boldsymbol {P}}:{\dot {\boldsymbol {F}}}}$

${\displaystyle \Phi ({\boldsymbol {F}},{\boldsymbol {X}})}$と考えると、${\displaystyle {\dot {\Phi }}}$は

${\displaystyle {\dot {\Phi }}=\sum _{i,J=1}^{3}{\frac {\partial \Phi }{\partial F_{iJ}}}{\dot {F}}_{iJ}}$

と書ける。 これを:${\displaystyle {\dot {\Phi }}={\boldsymbol {P}}:{\dot {\boldsymbol {F}}}}$と比較すると、${\displaystyle P_{iJ}}$は

${\displaystyle P_{iJ}={\frac {\partial \Phi }{\partial F_{iJ}}}}$

と書ける。結局、

${\displaystyle {\boldsymbol {P}}({\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {X}}),{\boldsymbol {X}})={\frac {\partial \Phi (({\boldsymbol {X}}),{\boldsymbol {X}})}{\partial {\boldsymbol {F}}}}}$

と表される。ここで、 ${\displaystyle {\boldsymbol {C}}={\boldsymbol {F}}^{T}{\boldsymbol {F}}}$より、${\displaystyle \Phi }$を${\displaystyle {\boldsymbol {C}}}$の関数として表す。

${\displaystyle \Phi ({\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {X}}),{\boldsymbol {X}})=\Phi ({\boldsymbol {C}}({\boldsymbol {X}}),{\boldsymbol {X}})}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\dot {\boldsymbol {C}}}={\dot {\boldsymbol {E}}}}$より、第二ピオラ-キルヒホッフ応力${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$について同様の式展開を行うと、

${\displaystyle {\dot {\Phi }}={\frac {\partial \Phi }{\partial {\boldsymbol {C}}}}:{\dot {\boldsymbol {C}}}={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {S}}:{\dot {\boldsymbol {C}}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {S}}({\boldsymbol {C}}({\boldsymbol {X}}),{\boldsymbol {X}})=2{\frac {\partial \Phi }{\partial {\boldsymbol {C}}}}={\frac {\partial \Phi }{\partial {\boldsymbol {E}}}}}$

となる。

非圧縮性を有する場合

まず、${\displaystyle {\boldsymbol {C}}}$で表記した${\displaystyle {\dot {\phi }}}$の式を次のように変形する。

${\displaystyle \left({\frac {1}{2}}{\boldsymbol {S}}-{\frac {\partial \Phi }{\partial {\boldsymbol {C}}}}\right):{\dot {\boldsymbol {C}}}=0}$

非圧縮性を有することから、${\displaystyle J=1,{\dot {J}}=0}$を${\displaystyle {\dot {J}}={\frac {1}{2}}J{\boldsymbol {C}}^{-1}:{\dot {\boldsymbol {C}}}}$に代入して、

${\displaystyle {\frac {1}{2}}J{\boldsymbol {C}}^{-1}:{\dot {\boldsymbol {C}}}=0}$

を得る。二つの式を比較して、

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\boldsymbol {S}}-{\frac {\partial \Phi }{\partial {\boldsymbol {C}}}}=\gamma {\frac {1}{2}}J{\boldsymbol {C}}^{-1}}$

を得る。今、${\displaystyle \gamma }$は任意の係数を表す。微圧縮性の場合は${\displaystyle J}$のままの方が便利なので、${\displaystyle J=1}$を代入していない。変形すると、

${\displaystyle {\boldsymbol {S}}=2{\frac {\partial \Phi }{\partial {\boldsymbol {C}}}} \gamma J{\boldsymbol {C}}^{-1}}$

ここで、${\displaystyle p={\frac {1}{3}}\mathrm {tr} \,{\boldsymbol {\sigma }}}$と定義すると、

${\displaystyle p={\frac {1}{3}}\mathrm {tr} \,{\boldsymbol {\sigma }}={\frac {1}{3}}J^{-1}{\boldsymbol {S}}:{\boldsymbol {C}}={\frac {2}{3}}J^{-1}{\frac {\partial \Phi }{\partial {\boldsymbol {C}}}}:{\boldsymbol {C}} \gamma }$

上の結果から、${\displaystyle \gamma }$と${\displaystyle p}$は

${\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial {\boldsymbol {C}}}}:{\boldsymbol {C}}=0}$

のときにのみ一致する。これは、${\displaystyle \Phi (\alpha {\boldsymbol {C}})=\Phi ({\boldsymbol {C}})}$となるときに成立する。ここで、${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {C}}}=III_{C}^{-{\frac {1}{3}}}{\boldsymbol {C}}}$によって新たな関数${\displaystyle {\hat {\Phi }}({\boldsymbol {C}})=\Phi ({\hat {\boldsymbol {C}}})}$を定義する。${\displaystyle {\hat {\Phi }}({\boldsymbol {C}})}$を用いると、${\displaystyle {\hat {\Phi }}({\boldsymbol {\alpha C}})={\hat {\Phi }}({\boldsymbol {C}})}$となることが次のように示される。

${\displaystyle {\hat {\Phi }}(\alpha {\boldsymbol {C}})=\Phi [(\mathrm {det} \,\alpha {\boldsymbol {C}})^{-{\frac {1}{3}}}(\alpha {\boldsymbol {C}})]=\Phi [(\alpha ^{3}\mathrm {det} \,{\boldsymbol {C}})^{-{\frac {1}{3}}}(\alpha {\boldsymbol {C}})]=\Phi [(\mathrm {det} \,{\boldsymbol {C}})^{-{\frac {1}{3}}}{\boldsymbol {C}}]={\hat {\Phi }}({\boldsymbol {C}})}$

ここで、 ${\displaystyle III_{C}=\mathrm {det} \,{\boldsymbol {C}}}$を用いた。

非圧縮性の場合、${\displaystyle \Phi ({\boldsymbol {C}})}$を${\displaystyle {\hat {\Phi }}({\boldsymbol {C}})}$で代替できるため、${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$の式は次のように表される。

${\displaystyle {\boldsymbol {S}}=2{\frac {\partial {\hat {\Phi }}}{\partial {\boldsymbol {C}}}} pJ{\boldsymbol {C}}^{-1}}$

偏差成分${\displaystyle {\boldsymbol {S}}'}$は、

${\displaystyle {\boldsymbol {S}}'=2{\frac {\partial {\hat {\Phi }}}{\partial {\boldsymbol {C}}}}}$

である。通常は、${\displaystyle \Phi ({\boldsymbol {C}})}$と${\displaystyle {\hat {\Phi }}({\boldsymbol {C}})}$は等しくないが、非圧縮性を有する場合、${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {C}}}={\boldsymbol {C}}}$より成立する。

参考文献

• 京谷孝史『よくわかる連続体力学ノート』森北出版、2008年12月。ISBN 978-4-627-94811-2。 
• 社団法人　土木学会　応用力学委員会　編：いまさら聞けない計算力学の常識，丸善，2008．
• Bonet, Javier; Wood, Richard D. (2008). Nonlinear Continuum Mechanics for Finite Element Analysis (2nd edition ed.). Cambridge University Press